Preparatoria Lic. Jesus Ángeles Contreras.
Proyecto. Calculo
Factorización de polinomios con factor común
Euclides
De este matemático griego, se sabe poco de su vida y su carácter, pero probablemente pasó sus años de instrucción en Atenas, antes de aceptar la invitación de Ptolomeo para instalarse en Alejandría. Enseñó, durante veinte o treinta años, escribiendo sus conocidos ELEMENTOS y muchas otras obras de importancia.
Se nos ha transmitido la imagen de un hombre de estudio, genial, modesto y escrupulosamente honrado, siempre pronto a reconocer el trabajo original de otros y visiblemente amable y paciente.
En los Elementos, Euclides comenzó a escribir una descripción exhaustiva de las matemáticas, tarea colosal aún en su tiempo. Su obra consta de trece libros. Los libros VII, VIII y IX son aritméticos y dan una descripción interesante de la Teoría de Números. Se introducen los números primos y compuestos, distinción relativamente tardía; también, por primera vez, el M.C.D. y el m.c.m. de los números, la teoría de las progresiones geométricas y el teorema am+n=am.an, junto con el método de sumar la progresión, mediante una hermosa utilización de las razones iguales. Euclides utilizó este método, incidentalmente, para presentar sus números perfectos tales como 6, 28, 496, cada uno de los cuales es igual a la suma de sus factores.
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Sacar factor común: Es aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma, Así, la propiedad distributiva dice:
Pues bien, si nos piden factorizar la expresión , basta aplicar la propiedad distributiva y decir que
Cuando nos piden sacar factor común o simplemente factorizar y hay coeficientes con factores comunes, se saca el máximo común divisor de dichos coeficientes. Por ejemplo, si nos piden factorizar la expresión , será
donde 6 es el máximo común divisor de 36, 12 y 18
Para comprobar si la factorización se ha hecho correctamente, basta efectuar la multiplicación, aplicando la propiedad distributiva de la parte derecha de la igualdad, y nos tiene que dar la parte izquierda.
Otro ejemplo: Factorizar
¡Atención a cuando sacamos un sumando completo!, dentro del paréntesis hay que poner un uno. Tener en cuenta que si hubiéramos puesto y quiero comprobar si está
bien, multiplico y me da pero no como me tendría que haber dado.
Sin embargo si efectúo
Otros ejemplos:
Consiste en aplicar la propiedad distributiva:
a · b + a · c + a · d = a (b + c + d)
Ejemplos
Descomponer en factores sacando factor común y hallar las raíces
1. x3 + x2 = x2 (x + 1)
La raíces son: x = 0 y x = −1
2. 2x4 + 4x2 = 2x2 (x2 + 2)
Sólo tiene una raíz x = 0; ya que el polinomio, x2 + 2, no tiene ningún valor que lo anule; debido a que al estar la x al cuadrado siempre dará un número positivo, por tanto es irreducible.
3. x2 − ax − bx + ab = x (x − a) − b (x − a) = (x − a) · (x − b)
La raíces son x = a y x = b.
