Preparatoria Lic. Jesus Ángeles Contreras.
Proyecto. Calculo
Máximo Común Divisor
Concepto
De dos o más expresiones algebraicas es la expresión algebraica de mayor coeficiente numérico y de mayor grado que está contenida exactamente en cada una de ellas: ejemplo
Así x es divisor común de dos 2x y ײ ; 5a²b es divisor común de 10a³b² y 15 a⁴b.
En matemáticas, se define el máximo común divisor (MCD) de dos o más números enteros al mayor número entero que los divide sin dejar resto
Cálculo del máximo común divisor
1 Se descomponen los números en factores primos.
2 Se toman los factores comunes con menor exponente.
3 Se multiplican dichos factores y el resultado obtenido es el mcd.
Ejemplo de cálculo de máximo común divisor
Hallar el m. c. d. de: 72, 108 y 60:
1
Solución:
72 = 23 · 32
108 = 22 · 33
60 = 22 · 3 · 5
2 m. c. d. (72, 108, 60) = 22 · 3 = 12
12 es el mayor número que divide a 72, 108 y 60.
Propiedades del máximo común divisor
1 Los divisores comunes de varios números coinciden con los divisores del máximo común divisor.
Ejemplo:
Calcular los divisores comunes de 54 y 90.
m.c.d (54, 90) = 18
Los divisores comunes de 54 y 90 son los divisores de 18, por tanto serían 1, 2, 3, 6, 9, 18.
2 Dados varios números, si se multiplican o dividen por otro número entonces su m.c.d también queda multiplicado o dividido por el mismo número.
Ejemplo:
m.c.d. (54, 90) = 18
Si multiplicamos los dos números por 3 queda:
54 · 3 = 162
90 · 3 = 270
m.c.d. (162, 270) = 54 = 18 · 3
3 Esta propiedad es consecuencia de la anterior: Dados varios números, si se dividen por su m.c.d los cocientes resultantes son primos entre sí (su m.c.d es 1).
Ejemplo:
m.c.d. (54, 90) = 18
54: 18 = 3
90 : 18 = 5
m.c.d. (3, 5) = 1
4 Si un número es divisor de otro, entonces este es el m. c. d de los dos.
Ejemplo:
El número 12 es divisor de 36.
m.c.d. (12, 36) = 12
3.1 Máximo Común Divisor
3.1.1. Definición. Se llama común divisor de dos enteros a un entero que los divida exactamente.
Ejemplo: 2, 3 y 6 son divisores comunes de 18 y 24.
3.1.2. Definición. Se llama máximo común divisor de dos enteros, al menos uno de ellos diferente de cero, al mayor entero que los divide exactamente.
De la definición anterior es claro que el máximo común divisor de dos enteros es siempre un entero positivo.
Ejemplo: Sean a = 24, b = 27. Escribamos el conjunto de todos los divisores comunes positivos de 27 y 24. Sea S este conjunto:
S = {1, 3}.
Luego, el máximo común divisor de 24 y 27 es 3.
Ejemplo: Halle el máximo común divisor de 32 y 48.
Sea S el conjunto de los divisores comunes positivos.
S = {1, 2, 4, 8, 16}.
Luego, el máximo común divisor de 32 y 48 es 16.
Si d es el máximo común divisor de dos números a y b se escribe:
d = M.C.D.(a, b).
3.1.3. Teorema. Dados los enteros a y b, no ambos cero, existen enteros x y y tales que M.C.D.(a, b) = ax + by.
Ejemplo: como M.C.D.(24, 27) = 3. Entonces se cumple 3 = 27*(1) + 24*(-1).
En este caso, x = 1 y y = -1.
Más adelante se estudiará un método expedito para hallar x y y.
3.1.4. Definición. Dos enteros a y b, no ambos cero, se llaman primos relativos si M.C.D.(a, b) = 1.
Ejemplo: Sea a = 28, sus divisores positivos son {1, 2, 4, 7, 14}.
b = 25, sus divisores positivos son {1, 5}.
El único divisor común es 1. Luego 25 y 28 son primos relativos.
3.1.5. Teorema. Dados dos enteros a y b, no ambos cero, a y b son primos relativos sí y sólo sí existen enteros x e y tales que 1 = ax + by.
Demostración: Si a y b son primos relativos entonces M.C.D.(a, b) = 1. Luego por teorema 2.3.3. 1 = ax + by.
Ahora, sea d = M.C.D.(a, b), luego, d|a y d|b y por los teoremas 2.2.2. y 2.2.3. se tiene que d|ax + by, o sea que d|1. Necesariamente d = 1.
3.1.6. Corolario. Si M.C.D.(a, b) = d, entonces, se tiene que M.C.D. .
Recíprocamente, si d|a, d|b y M.C.D. entonces, M.C.D. (a,b) = d.
Ejemplo: como M.C.D.(24, 27) = 3, entonces, se cumple que
M.C.D. = M.C.D.(8, 9) = 1.
3.1.7. Teorema. Sean a ,b, c enteros. Si a|c y b|c y M.C.D.(a, b) = 1, entonces, ab|c.
Demostración
Como: a|c, c = ar para algún r.
b|c, c = bs para algún s.
Sea d = M.C.D. (a, b). Por tanto, d = 1, de acá se concluye que existen enteros x, y tales que 1 = ax + by.
Multiplicando por c: c = acx +bcy.
Implica que c = a(bs)x + b(ar)y = ab(sx + ry), o sea que abïc.
