Preparatoria Lic. Jesus Ćngeles Contreras.
Proyecto. Calculo
MĆ”ximo ComĆŗn Divisor
Concepto
De dos o mĆ”s expresiones algebraicas es la expresiĆ³n algebraica de mayor coeficiente numĆ©rico y de mayor grado que estĆ” contenida exactamente en cada una de ellas: ejemplo
AsĆ x es divisor comĆŗn de dos 2x y ĆĀ² ; 5aĀ²b es divisor comĆŗn de 10aĀ³bĀ² y 15 aā“b.
En matemĆ”ticas, se define el mĆ”ximo comĆŗn divisor (MCD) de dos o mĆ”s nĆŗmeros enteros al mayor nĆŗmero entero que los divide sin dejar resto
CĆ”lculo del mĆ”ximo comĆŗn divisor
1 Se descomponen los nĆŗmeros en factores primos.
2 Se toman los factores comunes con menor exponente.
3 Se multiplican dichos factores y el resultado obtenido es el mcd.
Ejemplo de cĆ”lculo de mĆ”ximo comĆŗn divisor
Hallar el m. c. d. de: 72, 108 y 60:
1
SoluciĆ³n:
72 = 23 Ā· 32
108 = 22 Ā· 33
60 = 22 Ā· 3 Ā· 5
2 m. c. d. (72, 108, 60) = 22 Ā· 3 = 12
12 es el mayor nĆŗmero que divide a 72, 108 y 60.
Propiedades del mĆ”ximo comĆŗn divisor
1 Los divisores comunes de varios nĆŗmeros coinciden con los divisores del mĆ”ximo comĆŗn divisor.
Ejemplo:
Calcular los divisores comunes de 54 y 90.
m.c.d (54, 90) = 18
Los divisores comunes de 54 y 90 son los divisores de 18, por tanto serĆan 1, 2, 3, 6, 9, 18.
2 Dados varios nĆŗmeros, si se multiplican o dividen por otro nĆŗmero entonces su m.c.d tambiĆ©n queda multiplicado o dividido por el mismo nĆŗmero.
Ejemplo:
m.c.d. (54, 90) = 18
Si multiplicamos los dos nĆŗmeros por 3 queda:
54 Ā· 3 = 162
90 Ā· 3 = 270
m.c.d. (162, 270) = 54 = 18 Ā· 3
3 Esta propiedad es consecuencia de la anterior: Dados varios nĆŗmeros, si se dividen por su m.c.d los cocientes resultantes son primos entre sĆ (su m.c.d es 1).
Ejemplo:
m.c.d. (54, 90) = 18
54: 18 = 3
90 : 18 = 5
m.c.d. (3, 5) = 1
4 Si un nĆŗmero es divisor de otro, entonces este es el m. c. d de los dos.
Ejemplo:
El nĆŗmero 12 es divisor de 36.
m.c.d. (12, 36) = 12
3.1 MĆ”ximo ComĆŗn Divisor
3.1.1. DefiniciĆ³n. Se llama comĆŗn divisor de dos enteros a un entero que los divida exactamente.
Ejemplo: 2, 3 y 6 son divisores comunes de 18 y 24.
3.1.2. DefiniciĆ³n. Se llama mĆ”ximo comĆŗn divisor de dos enteros, al menos uno de ellos diferente de cero, al mayor entero que los divide exactamente.
De la definiciĆ³n anterior es claro que el mĆ”ximo comĆŗn divisor de dos enteros es siempre un entero positivo.
Ejemplo: Sean a = 24, b = 27. Escribamos el conjunto de todos los divisores comunes positivos de 27 y 24. Sea S este conjunto:
S = {1, 3}.
Luego, el mĆ”ximo comĆŗn divisor de 24 y 27 es 3.
Ejemplo: Halle el mĆ”ximo comĆŗn divisor de 32 y 48.
Sea S el conjunto de los divisores comunes positivos.
S = {1, 2, 4, 8, 16}.
Luego, el mĆ”ximo comĆŗn divisor de 32 y 48 es 16.
Si d es el mĆ”ximo comĆŗn divisor de dos nĆŗmeros a y b se escribe:
d = M.C.D.(a, b).
3.1.3. Teorema. Dados los enteros a y b, no ambos cero, existen enteros x y y tales que M.C.D.(a, b) = ax + by.
Ejemplo: como M.C.D.(24, 27) = 3. Entonces se cumple 3 = 27*(1) + 24*(-1).
En este caso, x = 1 y y = -1.
MƔs adelante se estudiarƔ un mƩtodo expedito para hallar x y y.
3.1.4. DefiniciĆ³n. Dos enteros a y b, no ambos cero, se llaman primos relativos si M.C.D.(a, b) = 1.
Ejemplo: Sea a = 28, sus divisores positivos son {1, 2, 4, 7, 14}.
b = 25, sus divisores positivos son {1, 5}.
El Ćŗnico divisor comĆŗn es 1. Luego 25 y 28 son primos relativos.
3.1.5. Teorema. Dados dos enteros a y b, no ambos cero, a y b son primos relativos sĆ y sĆ³lo sĆ existen enteros x e y tales que 1 = ax + by.
DemostraciĆ³n: Si a y b son primos relativos entonces M.C.D.(a, b) = 1. Luego por teorema 2.3.3. 1 = ax + by.
Ahora, sea d = M.C.D.(a, b), luego, d|a y d|b y por los teoremas 2.2.2. y 2.2.3. se tiene que d|ax + by, o sea que d|1. Necesariamente d = 1.
3.1.6. Corolario. Si M.C.D.(a, b) = d, entonces, se tiene que M.C.D. .
RecĆprocamente, si d|a, d|b y M.C.D. entonces, M.C.D. (a,b) = d.
Ejemplo: como M.C.D.(24, 27) = 3, entonces, se cumple que
M.C.D. = M.C.D.(8, 9) = 1.
3.1.7. Teorema. Sean a ,b, c enteros. Si a|c y b|c y M.C.D.(a, b) = 1, entonces, ab|c.
DemostraciĆ³n
Como: a|c, c = ar para algĆŗn r.
b|c, c = bs para algĆŗn s.
Sea d = M.C.D. (a, b). Por tanto, d = 1, de acĆ” se concluye que existen enteros x, y tales que 1 = ax + by.
Multiplicando por c: c = acx +bcy.
Implica que c = a(bs)x + b(ar)y = ab(sx + ry), o sea que abĆÆc.
